Why mention that it was "acharei mot" the death of Aharon's sons?

It could simply be a way of fixing the general time these commandments were given. However, part of peshat is considering the nuances of context, and when we see:

א וַיְדַבֵּר ה, אֶל-מֹשֶׁה, אַחֲרֵי מוֹת, שְׁנֵי בְּנֵי אַהֲרֹן--בְּקָרְבָתָם לִפְנֵי-ה, וַיָּמֻתוּ.	1 And the LORD spoke unto Moses, after the death of the two sons of Aaron, when they drew near before the LORD, and died;
ב וַיֹּאמֶר ה אֶל-מֹשֶׁה, דַּבֵּר אֶל-אַהֲרֹן אָחִיךָ, וְאַל-יָבֹא בְכָל-עֵת אֶל-הַקֹּדֶשׁ, מִבֵּית לַפָּרֹכֶת--אֶל-פְּנֵי הַכַּפֹּרֶת אֲשֶׁר עַל-הָאָרֹן, וְלֹא יָמוּת, כִּי בֶּעָנָן, אֵרָאֶה עַל-הַכַּפֹּרֶת.	2 and the LORD said unto Moses: 'Speak unto Aaron thy brother, that he come not at all times into the holy place within the veil, before the ark-cover which is upon the ark; that he die not; for I appear in the cloud upon the ark-cover.

that juxtaposition might indeed imply something. At the most general level, and weakest claim, that one has to appreciate the bounds set due to the extreme degree of holiness, and the manifestation of Hashem, such that care must be taken.

On the other hand, this looming possibility of death in overstepping bounds in kodesh is not restricted to Aharon. If we look to the previous perek, we have:

לא וְהִזַּרְתֶּם אֶת-בְּנֵי-יִשְׂרָאֵל, מִטֻּמְאָתָם; וְלֹא יָמֻתוּ בְּטֻמְאָתָם, בְּטַמְּאָם אֶת-מִשְׁכָּנִי אֲשֶׁר בְּתוֹכָם.

31 Thus shall ye separate the children of Israel from their uncleanness; that they die not in their uncleanness, when they defile My tabernacle that is in the midst of them.

If so, this could be mere coincidental juxtaposition.

But back to the first hand, note the repetition, spelling out the incident: "when they drew near before the LORD, and died." This might be cast as simple reminder, but it might be cast in a different direction as well.

One can say further, along the lines of this juxtaposition. The precise nature of Nadav and Avihu's sin is not clear. And midrash, and even peshat, may be to determine the nature of their crimes from this juxtaposition. Perhaps Nadav and Avihu trespassed in this exact way, and that is why Aharon is now being warned about it.

Now on to the meforshim and their positions. Rashi writes:

א) וידבר ה' אל משה אחרי מות שני בני אהרן וגו' -
מה תלמוד לומר?

היה רבי אלעזר בן עזריה מושלו משל לחולה שנכנס אצלו רופא.
אמר לו: אל תאכל צונן ואל תשכב בטחב.
בא אחר ואמר לו אל תאכל צונן ואל תשכב בטחב שלא תמות כדרך שמת פלוני.
זה זרזו יותר מן הראשון, לכך נאמר אחרי מות שני בני אהרן:

(ב) ויאמר ה' אל משה דבר אל אהרן אחיך ואל יבא -
שלא ימות כדרך שמתו בניו:
ולא ימות -
שאם בא הוא מת:
כי בענן אראה -
כי תמיד אני נראה שם עם עמוד ענני.
ולפי שגלוי שכינתי שם, יזהר שלא ירגיל לבא, זהו פשוטו.

ומדרשו:

לא יבא כי אם בענן הקטרת ביום הכיפורים:

Thus, what happened to Aharon's sons serves as a memorable warning, and so including this reference in the pasuk, dating it, is somehow akin to mentioning it. And Rashi works in the comparison there. Is the actual they did precisely this actions. One could read Rashi that way, I think.

Ibn Ezra writes:

אחרי מות -
אחרי שהזהיר את ישראל שלא ימותו, אמר השם למשה שיזהיר גם לאהרן שלא ימות כאשר מתו בניו וזאת הפרשה לאות, כי בני אהרן הכניסו הקטורת לפנים מהפרכת.

Thus, he maintains that this is precisely their sin.

Ramban writes:

טעם אחרי מות שני בני אהרן -
כי מיד כאשר מתו בניו הזהיר את אהרן מן היין ומן השכר שלא ימות (לעיל י ח ט), ואמר עוד למשה שיזהיר אותו שלא ימות בקרבתו לפני ה'. והקרוב, שהיו שתי המצוות האלה ביום המחרת למיתתם, כי בו ביום אונן היה, ואין רוח הקודש שורה מתוך עצבות (שבת ל ב). ואזהרת היין, הדבור לאהרן היה, ובאותו היום הייתה גם זאת המצוה למשה, אבל הקדים הכתוב האזהרות שהזהיר את ישראל שלא ימותו בטומאתם בטמאם את משכני אשר בתוכם, ואחרי כן כתב אזהרת היחיד.

ועל דעתי, כל התורה כסדר, שכל המקומות אשר בהם יאחר המוקדם יפרש בו כגון וידבר ה' אל משה בהר סיני (להלן כה א): בספר הזה, וכגון ויהי ביום כלות משה להקים את המשכן (במדבר ז א): בספר השני, וכיוצא בהן, ולכך אמר בכאן "אחרי מות", להודיע כי היה זה אחרי מותם מיד.

ועל דברי רבותינו (תו"כ פרשה א ג) שאמרו:

שלא תמות כדרך שמת פלוני, זה זרזו יותר מן הראשון, יהיה טעם הכתוב שאמר השם למשה בלשון הזה, אחרי שמתו שני בני אהרן בקרבתם לפני ה' אמור אליו שלא יבא בכל עת אל הקדש ולא ימות.

There are elements of merely fixing the time, but also connecting the cause, of not going at all times into the kodesh.

Seforno just has it as going past what one is commanded. Thus:

וְ"אַחֲרֵי מות שְׁנֵי בְּנֵי אַהֲרן" אָמַר לְמשֶׁה "דַּבֵּר אֶל אַהֲרן.. וְאַל יָבא" שֶׁלּא יִכָּנֵס יותֵר מִמַּה שֶׁצֻּוָּה "וְלא יָמוּת", כְּדֶרֶךְ שֶׁמֵּתוּ בָּנָיו בִּהְיותָם הורְסִים לַעֲשׂות קְטרֶת יותֵר מִמַּה שֶׁצֻּוּוּ. וְזֶה 'לְזַרְזו יותֵר מִן הָרִאשׁון'.

Rashbam also connects the cause, of not entering the mikdash when not in accordance with law:

אחרי מות -
הזהיר את אהרן שלא ימות בבניו על ביאת מקדש שלא כדת.

Aharon ben Yosef the Karaite takes issue with Ibn Ezra. It is entirely to fix the time, just as in the examples Ramban gives. It is to show that it was immediately after their death. But it is not showing their sin. For Aharon their father did not enter there, so how did they enter? And further, one can say according to his words that they were drunk, for the warning was after this immediately. (This is the position of Rabbi Yishmael, brought down by Rashi as the details of their sin.)

I don't know. Semichut overdone is drash, but some semichut is what we call context; and it pays to pay heed to nuances in the text. However, at the most, I would say that the purpose is to show the danger involved, and the awe one must have, in dealing with kodesh.

Shadal writes:

א אחרי מות : אעפ " י שהם לא נכנסו לקודש הקדשים , מכל מקום היתה מיתתם מפני זילזולם בכבוד ובמורא הראוי למשכן ה ' ולעבודתו .